TEORIA DE CONJUNTOS

Una definición de este estilo es problemática dede el punto de vista formal, ya que al definir un conjunto por una propiedad llevó a la paradoja de Russell (al tomar A:={X X no pertenece a X}, vemos que si A pertenece a A debe cumplir que A no pertenece a A, es decir, la propiedad asociada a A; y viceversa). Esto llevó a considerar varios desarrollos axiomáticos (como Zermelo-Frankel y von Neumann) que arreglaran este problema tan molesto de las paradojas (contradicción de la teoría). Pero el desarrollo dado a continuación es el intuitivo, que puede ser el más natural para la mayoría de las personas del comün.

Un conjunto se representa frecuentemente mediante llaves que contienen sus elementos, ya sea de forma explícita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los describa. Por ejemplo, S1 = {2, 4}; S2 = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} = {todos los enteros pares}; S3 = {x x2- 6x + 11 3}; S4 = {todos los varones vivos llamados Juan}. S3 se describe como el conjunto de todas las x tales que x2- 6x + 11 3.

Unión e intersecciónSi A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A &cup B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A &cap B. Si A y B no tienen ningün elemento comün se denominan conjuntos disjuntos ya que su intersección no tiene ningün elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo Ø.

Por ejemplo, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10}, A ∪ C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}, A ∩ B = {4, 6} y A ∩ C = Ø.
A ∩ A = A;
A ∪ A = A;
A \ A = {};
A ∩ B = B ∩ A;
A ∪ B = B ∪ A;
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B);
C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B);
C \ (B \ A) = (A ∩ C) ∪ (C \ B);
(B \ A) ∩ C = (B ∩ C) \ A = B ∩ (C \ A);
(B \ A) ∪ C = (B ∪ C) \ (A \ C);
A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A;
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B;
A ⊆ B ⇔ A \ B = Ø;
A ∩ B = Ø ⇔ B \ A = B;
A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B;
A ∩ {} = Ø;
A ∪ {} = A;
{} \ A = Ø;
A \ {} = A.

COMENTARIO.´¨A ∩ A = A;
A ∪ A = A;
A \ A = {};
A ∩ B = B ∩ A;
A ∪ B = B ∪ A;
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B);
C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B);
C \ (B \ A) = (A ∩ C) ∪ (C \ B);
(B \ A) ∩ C = (B ∩ C) \ A = B ∩ (C \ A);
(B \ A) ∪ C = (B ∪ C) \ (A \ C);
A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A;
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B;
A ⊆ B ⇔ A \ B = Ø;
A ∩ B = Ø ⇔ B \ A = B;
A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B;
A ∩ {} = Ø;
A ∪ {} = A;
{} \ A = Ø;
A \ {} = A.:


COMERNTARIO:
Esta es una divicion de las matematicasque estudia los conjuntos.

El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita . En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.
Algunas definicionesIntuitivamente, un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos a S representa que el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto S, o lo que es lo mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S está definido si dado un objeto a, se sabe con certeza que o a S o a S (esto es, a no pertenece a S).